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面试经典算法题74-打家劫舍 ​

LeetCode.198

问题描述 ​

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

c++
输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 2：

c++
输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
     偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

思路 ​

  1. 定义状态：定义 dp[i] 表示偷到第 i 个房屋时能够获得的最高金额。

  2. 状态转移方程：

    • 如果不偷第 i 个房屋，则最高金额为 dp[i-1]。

    • 如果偷第 i 个房屋，则最高金额为 dp[i-2] + nums[i]。

    • 因此，状态转移方程为：dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])。

  3. 初始条件：

    • 如果只有一个房屋，则最高金额为该房屋的金额：dp[0] = nums[0]。

    • 如果有两个房屋，则最高金额为其中金额较大的一个：dp[1] = max(nums[0], nums[1])。

  4. 计算结果：根据状态转移方程，从第 3 个房屋开始，逐步计算到第 n 个房屋的最高金额。

顺便画一个比较简单的易懂的图示：

假设输入为 [2, 7, 9, 3, 1]，动态规划表如下：

i01234
nums[i]27931
dp[i]27111112
  • 对于第 2 个房屋（索引为 1），可以选择偷第一个房屋或第二个房屋，最大金额为 7。
  • 对于第 3 个房屋（索引为 2），可以选择偷第一个和第三个房屋，最大金额为 11。
  • 对于第 4 个房屋（索引为 3），可以选择偷第二个和第四个房屋，最大金额为 11。
  • 对于第 5 个房屋（索引为 4），可以选择偷第一个、第三个和第五个房屋，最大金额为 12。

参考代码 ​

C++ ​

c++
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

int rob(const std::vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    if (n == 0) return 0;
    if (n == 1) return nums[0];
    
    // 初始化 dp 数组
    std::vector<int> dp(n);
    dp[0] = nums[0];
    dp[1] = std::max(nums[0], nums[1]);
    
    // 填充 dp 数组
    for (int i = 2; i < n; ++i) {
        dp[i] = std::max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i]);
    }
    
    return dp[n-1];
}

int main() {
    std::vector<int> nums1 = {1, 2, 3, 1};
    std::cout << "输入: [1, 2, 3, 1]" << std::endl;
    std::cout << "输出: " << rob(nums1) << std::endl; // 输出: 4
    
    std::vector<int> nums2 = {2, 7, 9, 3, 1};
    std::cout << "输入: [2, 7, 9, 3, 1]" << std::endl;
    std::cout << "输出: " << rob(nums2) << std::endl; // 输出: 12
    
    return 0;
}

Java ​

java
public class HouseRobber {

    public int rob(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 1) return nums[0];
        
        // 初始化 dp 数组
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);
        
        // 填充 dp 数组
        for (int i = 2; i < n; ++i) {
            dp[i] = Math.max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i]);
        }
        
        return dp[n-1];
    }

    public static void main(String[] args) {
        HouseRobber robber = new HouseRobber();
        
        int[] nums1 = {1, 2, 3, 1};
        System.out.println("输入: [1, 2, 3, 1]");
        System.out.println("输出: " + robber.rob(nums1)); // 输出: 4
        
        int[] nums2 = {2, 7, 9, 3, 1};
        System.out.println("输入: [2, 7, 9, 3, 1]");
        System.out.println("输出: " + robber.rob(nums2)); // 输出: 12
    }
}

Python ​

python
def rob(nums):
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return 0
    if n == 1:
        return nums[0]
    
    # 初始化 dp 数组
    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0]
    dp[1] = max(nums[0], nums[1])
    
    # 填充 dp 数组
    for i in range(2, n):
        dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])
    
    return dp[n-1]

# 示例用法
nums1 = [1, 2, 3, 1]
print("输入:", nums1)
print("输出:", rob(nums1))  # 输出: 4

nums2 = [2, 7, 9, 3, 1]
print("输入:", nums2)
print("输出:", rob(nums2))  # 输出: 12

nums3 = [2, 1, 1, 2]
print("输入:", nums3)
print("输出:", rob(nums3))  # 输出: 4